%% A5 (148 × 210) for PDFoutput
\pdfpagewidth=  148mm  
\pdfpageheight= 210mm

\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{czech}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{times}

%%%% A5
\marginparwidth 0 in        
\oddsidemargin  -1.54 cm    
\evensidemargin -1.54 cm
\topmargin      -2.54 cm
\textwidth      127 mm    
\textheight     43\baselineskip

%%%% odstavec
\parindent      = 0pt
\parskip       = 0.5\baselineskip

%%%% ZACATEK DOKUMENTU
\begin{document}
%%% vypnute cislovani stranek
\pagestyle{empty}

{\huge\bf Měření kapacit a indukčností}
\medskip

\section*{Zadání}

\subsubsection*{Úkol:}
Proměřit kapacity kondenzátorů a~indukčnosti cívek různými metodami.

\subsubsection*{Potřeby:}
Krabička s~měřenými kondenzátory, měřené cívky s~jádrem, 3~digitální
univerzální měřicí přístroje, zdroj stejnosměrného napětí, zdroj střídavého
napětí, odporové dekády, posuvné odpory, osciloskop, univerzální automatický
most~\uv{RLCG}, vypínač, spojovací vodiče.

\section*{Obecná část}

\subsection*{Měření kapacity~{\boldmath $C$\/} kondenzátoru}
Měření kapacity~$C$ kondenzátoru lze provádět řadou různých metod:
\begin{itemize}
\item přímou metodou měření kapacity
\item nepřímou metodou tří napětí
\item nepřímou můstkovou metodou
\end{itemize}

\subsubsection*{Metoda tří napětí}
Měřený kondenzátor s~kapacitou $C$ a~svodovým odporem~$R_{\mathrm{s}}$ 
zapojíme do série se známým odporem~$R$. V~tomto obvodu budeme měřit 
následující trojici napětí:~
\begin{itemize}
\item $U_\mathrm{R}$ na odporu~R,
\item $U_\mathrm{C}$ na kapacitě~C,
\item $U$ na celé sériové kombinaci~\uv{RC}.
\end{itemize}

Po dosazení za fázový posun $\varphi$, dostaneme po několika úpravách 
pro měřenou kapacitu výraz~
\begin{equation}
  \label{eq:1}
  C = \frac{1}{4\pi f R U_\mathrm{C}^2} \cdot \sqrt{4  U_\mathrm{R}^2
   U_\mathrm{C}^2 - \left(U - U_\mathrm{R} - U_\mathrm{C}\right)^2}
 \end{equation}

\subsubsection*{Můstková metoda}

Rovnice (\ref{eq:1}) představuje tzv. {\em amplitudovou podmínku}
(ta je ekvivalentní podmínce rovnováhy stejnosměrného můstku pro odpory $R$) 
a~rovnice specifická pro střídavé můstky je nazývána tzv. {\em fázovou podmínkou}.

Můstkové měření používáme tehdy, když jednu kapacitu známe 
(např. z~předcházejících měření) a~druhou chceme určit. 
Rovnováhu na můstku pak ustavujeme změnou odporů $R_2$ a~$R_3$ na dekádách.


\subsection*{\protect Měření indukčnosti~{\boldmath $L$\/} cívky}

Prochází-li uzavřeným vodičem proud~$\mathrm{I}$, prostupuje plochou vymezenou tímto
vodičem magnetický indukční tok~$\Phi$, jehož velikost je přímo úměrná proudu.

Je fyzikální veličinou, jež se nazývá {\bf indukčnost} daného vodiče. 
Tato veličina je dána pouze geometrií příslušného vodiče a~magnetickými 
vlastnostmi prostředí, jež vodič obklopuje~--~závisí tedy na relativní 
permeabilitě $\mu_{\mathrm{r}}$ okolního prostředí, a~proto nelze indukčnost 
vodiče považovat za konstantu (zejména to platí pro feromagnetická prostředí)!
Jednotkou indukčnosti v soustavě SI je jeden henry ($1\,\mathrm{H}$).

V~případě přímé cívky je její indukčnost dána počtem~$N$ závitů, délkou~$l$ 
mezi krajními závity a~plošným obsahem~$S$ jednoho závitu.

Platí:~
\begin{equation}
  \label{eq:2}
  L = \frac{\mu_0 \mu_\mathrm{r} N^2 S}{l} \ ,
\end{equation}


kde $\mu_0$ je permeabilita vakua a~$\mu_\mathrm{r}$ právě 
relativní permeabilita prostředí, jež se nachází 
v~dutině cívky.

Rovněž měření indukčností~$L$ cívek lze provádět různými metodami.

Například:~
\begin{itemize}
\item přímou metodu měření indukčnosti,
\item nepřímou můstkovou metodu.
\end{itemize}


\subsubsection*{Přímá metoda}

Prochází-li obvodem s~cívkou o~indukčnosti~$L$ stejnosměrný proud, 
projeví se indukčnost cívky jen při zapnutí a~vypnutí proudu. 
Z~ustálených hodnot stejnosměrného napětí a~proudu určují lze snadno 
určit odpor $R$ dané cívky jako~ $R = \frac{U} {I}$.

Jestliže ale bude obvodem procházet proud střídavý projeví se kromě 
odporu~$R$ také induktance cívky~$X_\mathrm{L}$ a~cívka bude představovat 
celkovou impedanci~$Z$, kterou opět určíme z~Ohmova zákona, 
tentokráte ale z~hodnot střídavého napětí~$U$
a~střídavého proudu~$I$.

I~když ve skutečnosti nelze oddělit odpor~$R$ a~indukčnost~$L$ 
dané cívky od sebe, můžeme při výpočtu impedance~$Z$ vyjít 
z~přibližného předpokladu, že reálnou cívku představuje 
sériová kombinace obou jejích prvků.

Platí:~
\begin{equation}
  \label{eq:3}
\sqrt{\left(\frac{\Delta L}{\Delta Z}\right)^2 \cdot \Delta^2 R +
   \left(\frac{\Delta L}{\Delta Z}\right)^2 \cdot \Delta^2 R} =
   \frac{1}{\omega^2 L} \cdot \sqrt{\Delta^2 R + \Delta^2 Z},
\end{equation}

kde $\Delta L$ je změna indukčnosti cívky, $\Delta R$ je změna odporu a~$\Delta Z$ vyjadřuje celkovou změnu impedance.

\subsubsection*{Můstková metoda}

Můstkové měření používáme tehdy, když jednu kapacitu známe
(např. z~předcházejících měření) a~druhou chceme určit.
Rovnováhu na můstku pak ustavujeme změnou odporů~$R_3$ a~$R_4$ na dekádách.

Jejich postupnou úpravou získáme nakonec následující rovnici:~
\begin{equation}
  \label{eq:4}
  \left(\frac{L_1^2}{L_2^2} - \frac{R_3^2}{R_4^2}\right) \cdot
  \left(1 + \frac{\omega^2 L_2^2}{R_2^2}\right) = 0
\end{equation}

I~toto můstkové měření indukčností cívek používáme tehdy, když jednu
z~indukčností známe z~předcházejících měření a~druhá je pro nás neznámá.

\section*{Úkoly}

Byla změřena kapacita jednoho kondenzátoru přímou metodou.

Byla změřena kapacita téhož kondenzátoru metodou tří napětí. 
Úloha byla měřena při pevném odporu~$R$ zapojeném v~sérii s~kapacitou. 
Tento odpor byl volen tak, aby napětí na kapacitě~$U_\mathrm{C}$ 
a~odporu $U_\mathrm{R}$ byla srovnatelná!
Kapacita kondenzátoru byla počítána ze vztahu~(\ref{eq:1}).

Znovu byla použita metoda tří napětí, tentokrát bylo konstantní 
napětí~$U$ na sériové kombinaci \uv{RC} a~měněny hodnoty sériově 
připojeného odporu~$R$.


Byla určena přímou metodou indukčnost $L$ jedné z~cívek. 
Nejprve byl změřen odpor~$R$ cívky ve stejnosměrném zapojení, 
a~poté ve střídavém zapojení celkovou impedanci~$Z$ téže cívky. 
Při zapojení se zdrojem střídavého napětí bylo měření prováděno 
pouze při malých hodnotách napětí~$U$ (do tří voltů), jinak se ve
výsledku projeví růst relativní permeability~$\mu_\mathrm{r}$ 
jádra cívky s~rostoucím napětím!

Naměřené údaje byly zapsány do tabulky~\ref{tab:1}, vypočítány 
hodnoty odporu $R$ a~impedance $Z$ dané cívky.

\begin{table}[htbp]  %%here top bottom page
  \begin{center}
    \begin{tabular}{|r|r|r|r|r|}
      \hline
      \strut Počet & $U\/\,[\mathrm{V}]$ & $I\/\,
      [\mathrm{mA}]$&  $C\/\,[\mathrm{\Delta{}F}]$&  
      		$\Delta{C}\/\,[\mathrm{\Delta{}F}]$ \\
      \hline\hline
      $1$ & $9,40$ & $18,77$ & $6,36$ & $0,00$ \\
      \hline
      $2$ & $5,78$ & $11,57$ & $6,37$ & $-0,02$\\
      \hline
      $3$ & $1,52$ & $3,04$  & $6,37$ & $-0,01$\\
      \hline
      $4$ & $4,24$ & $8,46$  & $6,35$ & $0,01$\\
      \hline
      $5$ & $1,27$ & $2,53$  & $6,34$ & $0,02$\\
      \hline
    \end{tabular}
    \caption{Přímá metoda měření kapacity ($f = 50\,\mathrm{Hz}$)}
    \label{tab:1}
  \end{center}
\end{table}

Indukčnosti dalších cívek byly určeny pomocí můstkové metody. 
Jako známá indukčnost byla použita cívku, která byla již proměřena 
přímou metodou.
Stav rovnováhy můstku byl určován podle minima amplitudy napěťového 
signálu na obrazovce osciloskopu.

\section*{Závěr}

Pokud bychom hodnotu kapacity změřenou na \uv{RLCG} můstku považovali 
za nejlepší, pak všechny metody vykazují přibližně stejně přesné 
výsledky. Daný kondenzátor byl ale měřen při dvojnásobné frekvenci 
a~hodnota téhož kondenzátoru při frekvenci ($1\,\mathrm{kHz}$) se 
značně liší od kapacity změřené při ($100\,\mathrm{Hz}$).
Principiálně se měření indukčností neliší od měření kapacit. 
Výsledky se v~tomto případě liší více od hodnot naměřených na mostě~\uv{RLCG},
relativní chyby měření se pohybují kolem~$9\,\%$ 
(srovnání hodnot získaných na mostě~ \uv{RLCG} a~ostatními metodami).

Vliv na přesnost má také přesné určení hodnoty kapacity 
\uv{známého} kondenzátoru / indukčnosti \uv{známé} cívky.

\pagebreak[4]

























\section*{Práce typografa}

V~dokumentu je používáno písmo Times o~základní velikosti 10 pt, vyznačovacím řezem v~textu je kurziva.
Sazební obrazec je formát~A5 zmenšený o~okraje 1,54~cm, 2,54~cm, 1,54~cm a~2,54~cm (zleva, shora, zprava a~zezdola). 
Text je zarovnán do bloku s~možným dělením slov. Odstavcová zarážka byla definována nulová  a~odstavec je tedy  vyznačen vertikálním bílým místem o~velikosti poloviny vzdálenosti dvou účaří.
Nadpisy jsou zarovnány na levý okraj bez dělení slov.
Pořadová sazba je zarovnána na levý okraj a~text v~položkách seznamu je odsazen o~1,5~em, označení položky je od jejího textu odsazeno o~0,5 em vlevo. 

Další vyznačovací styly: \\
hlavní nadpis: tučné písmo, velikost 14,4~pt; 
podnadpis 1. úrovně: tučné, velikost~12~pt;
podnadpis 2. úrovně: tučné, velikost~10~pt.



Při volbě typu nadpisů, podnadpisů a~tabulky bylo využito převážně přednastavených hodnot \LaTeX u.{}
Komplikace pouze nastaly v~okamžiku rozhodování, zda daný index 
bude vysázen stojatým písmem nebo matematickou italikou. 
Do zpracování bylo promítnuto, že pokud daný identifikátor 
označuje obecnou fyzikální vlastnost (odpor, kapacita, \dots ) 
či součástku (rezistor, kondenzátor), je vysázen stojatým písmem. 
Zastupuje-li identifikátor jistou hodnotu fyzikální veličiny 
(velikost odporu, kapacity, \dots ), je použita matematická italika.


Poslední překlad systémem {\LaTeX} s~výstupem 
do formátu PDF proběhl dne \today.{}

\end{document}
%%%% KONEC DOKUMENTU